CH.01KINEMATICS

一、质点运动学

复习目标

• 准确区分位置、位移、路程、速度、速率和加速度，避免矢量与标量混用。
• 能由位置矢量或坐标方程求速度、加速度、位移和轨迹方程。
• 掌握切向-法向分解，理解加速度如何分别改变速度的大小和方向。
• 熟练处理圆周运动中的角量与线量关系。
• 会根据加速度的已知形式选择对时间积分或使用链式关系换元。
• 会对不可伸长绳等约束方程求导，建立各物体速度和加速度之间的联系。

知识地图

模块	核心内容	常见题型
运动描述	位置、位移、路程、平均量与瞬时量	概念判断、平均速度与平均速率
直角坐标运动	$\overrightarrow{r}(t)$、$\overrightarrow{v}(t)$、$\overrightarrow{a}(t)$	求导、积分、消参求轨迹
曲线运动	切向加速度、法向加速度、曲率半径	由 $\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}$ 求 $a_t,a_n$
圆周运动	$\theta ,\omega ,\alpha$ 与线量关系	变速圆周运动、方向夹角
一维变加速运动	$a(t)$、$a(x)$、$a(v)$	分离变量与定积分
约束运动	绳长不变、几何约束	关联速度、关联加速度

核心知识点

1. 参考系、质点和位置矢量

运动描述必须先选定参考系和坐标系。同一物体相对不同参考系的速度、轨迹可能不同。若物体的大小和形状对问题没有影响，就可把它抽象为质点。

在直角坐标系中，质点的位置矢量为

$$\overrightarrow{r}(t)=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}.$$

其中 $x,y,z$ 是质点在时刻 $t$ 的坐标，单位为 m；$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ 是固定坐标轴的单位矢量。

从时刻 $t_1$ 到 $t_2$ 的位移为

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t_2)-\overrightarrow{r}(t_1).$$

位移只由初、末位置决定，是矢量；路程 $\mathrm{\Delta }s$ 是质点沿实际轨迹走过的长度，是非负标量。一般有 $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le \mathrm{\Delta }s$。

识别方法：题目出现“从哪里到哪里”通常先求位移；出现“走过多少距离”才是路程。

2. 平均速度、平均速率和瞬时速度

平均速度与平均速率分别为

$$\overline{\overrightarrow{v}}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t},{\overline{v}}_s=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}.$$

$\overline{\overrightarrow{v}}$ 是矢量，方向与总位移相同；${\overline{v}}_s$ 是标量。质点绕闭合轨道回到起点时，平均速度为零，但平均速率不为零。

瞬时速度定义为

$$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dy}{dt}\overrightarrow{j}+\frac{dz}{dt}\overrightarrow{k}.$$

速率是速度矢量的大小：

$$v=|\overrightarrow{v}|=\frac{ds}{dt}=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.$$

注意 $d|\overrightarrow{r}|/dt$ 一般不等于速率，$d|\overrightarrow{v}|/dt$ 也一般不等于加速度大小。

3. 加速度及其坐标表示

加速度描述速度矢量随时间的变化：

$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}+a_z\overrightarrow{k}.$$

其中 $a_x=d^{2}x/d{t}^2$，其余分量类似，单位均为 $\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$。总加速度大小为

$$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$$

若已知 $\overrightarrow{a}(t)$，则必须结合初始速度和初始位置积分：

$$\overrightarrow{v}(t)={\overrightarrow{v}}_0+{\int }_{t_0}^t\overrightarrow{a}(t^{\prime })d{t}^{\prime },$$$$\overrightarrow{r}(t)={\overrightarrow{r}}_0+{\int }_{t_0}^t\overrightarrow{v}(t^{\prime })d{t}^{\prime }.$$

定积分中的 $t^{\prime }$ 是哑变量；初始条件用于确定积分常量。

4. 轨迹方程与参数消去

若已知 $x=x(t),y=y(t)$，轨迹方程应通过消去参数 $t$ 得到 $F(x,y)=0$。完整答案还要写出由时间范围决定的坐标范围。

例如 $x=4t^2,y=3+2t$，消去 $t$ 得

$$x=(y-3{)}^2.$$

若题目默认 $t\ge 0$，则还应注明 $y\ge 3$、$x\ge 0$，否则数学曲线会包含质点从未到达的部分。

5. 切向加速度与法向加速度

沿轨迹建立切向单位矢量 ${\overrightarrow{e}}_t$ 和指向曲率中心的法向单位矢量 ${\overrightarrow{e}}_n$，有

$$\overrightarrow{a}=a_t{\overrightarrow{e}}_t+a_n{\overrightarrow{e}}_n.$$

两个分量的大小为

$$a_t=\frac{dv}{dt},a_n=\frac{v^2}{\rho },$$

其中 $v$ 为速率，$\rho$ 为该点的曲率半径。$a_t$ 改变速率，正值表示加速、负值表示减速；$a_n$ 改变速度方向，大小非负且指向曲率中心。总加速度大小为

$$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}.$$

由速度矢量和加速度矢量直接计算时，还可使用

$$a_t=\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{a}}{v},a_n=\frac{|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}|}{v}.$$

这两个式子适用于一般曲线运动，前提是 $v\ne 0$。

6. 圆周运动的角量与线量

半径固定为 $R$ 的圆周运动中，角位置、角速度和角加速度为

$$\omega =\frac{d\theta }{dt},\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}.$$

角度必须使用 rad，$\omega$ 的单位为 rad/s，$\alpha$ 的单位为 $\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$。角量与线量关系为

$$s=R\theta ,qquadv=R|\omega |,qquad{a}_t=R\alpha ,qquad{a}_n=R{\omega }^2=\frac{v^2}{R}.$$

若只求大小，应对可能带符号的 $\omega$、$\alpha$ 作正确处理。加速度与指向圆心的半径方向夹角为 $\beta$ 时，

$$\tan \beta =\frac{|a_t|}{a_n}.$$

例如 $\beta ={45}^{\circ }$ 表示 $|a_t|=a_n$，而不是总加速度等于任一分量。

7. 一维运动中的微分换元

若加速度是时间函数 $a(t)$，直接用 $dv=a(t)dt$；若加速度是位置函数 $a(x)$，使用链式法则

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}.$$

于是

$${\int }_{v_0}^v{v}^{\prime }d{v}^{\prime }={\int }_{x_0}^{x}a(x^{\prime })d{x}^{\prime }.$$

若 $a=a(v)$，则由 $dt=dv/a(v)$ 求时间，再用 $dx=vdt$ 求位移。选择哪一种形式，取决于题目把加速度写成了谁的函数。

8. 相对运动和约束运动

在经典力学的低速范围内，若参考系 $S^{\prime }$ 相对 $S$ 以速度 $\overrightarrow{u}$ 平动，则

$${\overrightarrow{v}}_{P/S}={\overrightarrow{v}}_{P/S^{\prime }}+\overrightarrow{u}.$$

不可伸长绳问题的关键不是记结论，而是先写总绳长 $L$。例如某两段长度满足

$$L=f(x_1,x_2)=\text{常量},$$

则 $dL/dt=0$ 给出速度约束，$d^{2}L/d{t}^2=0$ 给出加速度约束。斜绳、滑轮高度不同时，绳长通常含平方根，不能凭图直接认为两端速率相等。

典型模型与方法

模型一：由运动方程求全部运动量

1. 将 $\overrightarrow{r}(t)$ 拆成坐标分量。
2. 对时间求导得到 $\overrightarrow{v}(t)$ 和 $\overrightarrow{a}(t)$。
3. 需要速率时再求 $|\overrightarrow{v}|$，需要切向加速度时求 $d|\overrightarrow{v}|/dt$。
4. 需要轨迹时消去 $t$，并补上取值范围。

模型二：变速圆周运动

先由 $\theta (t)$ 求 $\omega (t)$、$\alpha (t)$，再计算 $a_t=R\alpha$ 和 $a_n=R{\omega }^2$。涉及方向时画出切向与指向圆心的法向，最后进行矢量合成。

模型三：已知 $a(x)$ 求速度

看到“加速度与位置的关系”立刻考虑 $a=v,dv/dx$。使用带初始条件的定积分可以减少积分常量和符号错误，开平方后还要根据运动方向选正负根。

模型四：绳约束

先标出所有会变化的绳段，只把这些绳段写入约束方程。对几何长度求导时注意链式法则；速度方向不能仅由导数大小决定，还要结合坐标正方向。

易错点

• 把 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ 的大小当成路程，或把平均速度的大小当成平均速率。
• 把 $d\overrightarrow{v}/dt$ 与 $dv/dt$ 混为一谈。前者是总加速度矢量，后者是切向加速度。
• 先对速度分量求大小再求导时漏掉链式法则。
• 圆周运动只写向心加速度，忽略变速运动还存在切向分量。
• 将 $a_n=v^2/R$ 错写为 $v/R$，或把 $a_t=\alpha R$ 与 $a_n={\omega }^{2}R$ 对调。
• 消参后不写参数范围；积分后不使用初始条件；开平方时默认取正根。
• 把 r/min 直接代入 $v=\omega R$，没有换成 rad/s。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
1-4	平均速度与平均速率	位移、路程	完整两圈位移为零，路程不为零
1-5、1-12	切法向加速度	圆周运动角量	总加速度是垂直分量的矢量合成
1-7	标量导数与矢量导数	$\overrightarrow{r},\overrightarrow{v},s,v$ 的定义	看清符号代表矢量还是大小
1-18	参数方程、位移、速度	坐标表示与求导	消参后补充物理范围
1-20	一般曲线运动	速度和加速度矢量	先求速率再求 $a_t$，由分解求 $a_n$
1-25	$a(x)$ 型运动	链式法则、积分	使用 $a=v,dv/dx$
1-26	变速圆周运动	$\omega ,\alpha ,a_t,a_n$	用分量比处理加速度方向
L1-2 至 L1-7	绳约束、平抛、角运动、积分	本章全部基础关系	PDF 中均有题解，适合作为综合复习

快速自查

1. 质点绕圆周一圈后，哪些量为零，哪些量不为零？
2. 能否用一句话分别解释 $a_t$ 和 $a_n$ 的物理作用？
3. 已知 $\overrightarrow{r}(t)$ 时，能否求出轨迹、速度、速率和加速度？
4. 已知 $a=a(x)$ 时，为什么不能直接写 $v=\int adt$？
5. 看到 $\theta (t)$ 后，能否完整写出 $v,a_t,a_n$？
6. 轨迹方程为什么必须附带坐标取值范围？
7. 不可伸长绳题中，怎样从绳长方程得到速度和加速度约束？