七、恒定磁场

复习目标

掌握磁感应强度、洛伦兹力和毕奥-萨伐尔定律。
会求长直导线、有限直导线、圆弧和组合载流导线的磁场。
理解安培环路定理，并会处理圆柱导体和同轴电缆的分区磁场。
会计算非均匀磁场中的磁通量和载流导线受力。
掌握载流线圈的磁矩、磁力矩、磁势能和磁力矩做功。

知识地图

模块	核心公式	高频题型
运动电荷受力	$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$	圆周、螺旋运动
电流产生磁场	毕奥-萨伐尔定律	直线、圆弧、组合导线
高对称磁场	安培环路定理	长直导线、同轴电缆
磁通量	$Φ_{B} = \int \vec{B} \cdot d \vec{S}$	非均匀场面积积分
电流受力	$d \vec{F} = I, d \vec{l} \times \vec{B}$	线框合力与力矩
磁矩	${\vec{p}}_{m} = N I \vec{S}$	线圈转动、做功

核心知识点

1. 磁感应强度与洛伦兹力

电荷 $q$ 以速度 $\vec{v}$ 在磁场中运动时，磁场力为

{\vec{F}}_{m} = q \vec{v} \times \vec{B} .

大小为

F_{m} = | q | v B \sin θ,

其中 $θ$ 是 $\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 的夹角。正电荷方向由右手定则确定，负电荷方向相反。

磁场力始终垂直于瞬时速度，因此

P = {\vec{F}}_{m} \cdot \vec{v} = 0.

磁场力不做功，不能改变带电粒子的速率和动能，只能改变速度方向。

2. 带电粒子在均匀磁场中的运动

若 $\vec{v} ⊥ \vec{B}$ ，粒子做匀速圆周运动：

| q | v B = \frac{m v^{2}}{R},

所以

R = \frac{m v}{| q | B}, q q u a d ω_{c} = \frac{| q | B}{m}, q q u a d T = \frac{2 π m}{| q | B} .

若速度同时有平行和垂直分量， $v_{∥}$ 保持不变， $v_{⊥}$ 导致圆周运动，合运动是沿磁场方向的螺旋线，螺距为

h = v_{∥} T .

3. 毕奥-萨伐尔定律

稳恒电流元 $I, d \vec{l}$ 在场点产生的磁场为

d \vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I, d \vec{l} \times \vec{r}}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I, d \vec{l} \times {\vec{e}}_{r}}{r^{2}} .

$μ_{0}$ 为真空磁导率， $\vec{r}$ 从电流元指向场点。方向由 $d \vec{l} \times \vec{r}$ 判断。总磁场为各电流元贡献的矢量积分。

4. 直导线的磁场

无限长直导线距导线垂直距离为 $r$ 处的磁场为

B = \frac{μ_{0} I}{2 π r} .

磁感线是以导线为圆心的同心圆，方向由右手螺旋定则确定。

有限长直导线在距导线垂直距离 $a$ 的点产生

B = \frac{μ_{0} I}{4 π a} (\sin θ_{1} + \sin θ_{2}),

$θ_{1}, θ_{2}$ 是从垂足方向看向两端连线的夹角。角度定义可能随教材图示改变，使用前应根据极限检查：两端趋于无穷时应还原为 $μ_{0} I / (2 π a)$ 。

若场点位于直导线延长线上，任意电流元都有 $d \vec{l} ∥ \vec{r}$ ，叉积为零，该直线段对场点无磁场贡献。

5. 圆电流与圆弧

半径为 $R$ 的圆电流在圆心处产生

B = \frac{μ_{0} I}{2 R} .

圆心角为 $φ$ 的圆弧在圆心处产生

B = \frac{μ_{0} I φ}{4 π R},

其中 $φ$ 必须用 rad。半圆对应 $φ = π$ ，故 $B = μ_{0} I / (4 R)$ 。

组合导线题应拆成若干直线段和圆弧段，分别判断大小与方向后作矢量叠加。若各段不在同一平面，总磁场可能含多个坐标分量。

6. 磁场的高斯定理

任意闭合曲面的总磁通量满足

\oint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0.

它反映磁场线没有起点和终点，而是闭合曲线。该式不表示闭合面上每一点 $B = 0$ ，也不能像静电高斯定理那样通过包围“磁荷”直接求磁场。

7. 安培环路定理

稳恒电流产生的磁场满足

\oint_{L} \vec{B} \cdot d \vec{l} = μ_{0} I_{i n} .

$I_{i n}$ 是穿过以环路 $L$ 为边界的曲面的电流代数和，符号由环路绕行方向与右手规则确定。

安培环路定理始终成立于稳恒磁场，但只有磁场具有高度对称性时才能方便求 $B$ 。选环路时应使 $\vec{B}$ 与 $d \vec{l}$ 平行且大小恒定，或使两者垂直而该段积分为零。

8. 均匀载流圆柱导体

半径 $R$ 的无限长圆柱导体中电流 $I$ 在截面上均匀分布，电流密度

J = \frac{I}{π R^{2}} .

由安培环路定理可得

B (r) = {\begin{cases} \frac{μ_{0} I r}{2 π R^{2}}, & r < R, \\ \frac{μ_{0} I}{2 π r}, & r \geq R . \end{cases}

导体内部包围电流与 $r^{2}$ 成正比，所以 $B$ 与 $r$ 成正比；外部等效为轴线上的总电流。

9. 同轴电缆的分区磁场

内导体半径为 $R_{1}$ ，外导体内、外半径为 $R_{2}, R_{3}$ ，两导体载有大小相等、方向相反且均匀分布的电流。磁场大小为

B (r) = {\begin{cases} \frac{μ_{0} I r}{2 π R_{1}^{2}}, & 0 \leq r < R_{1}, \\ \frac{μ_{0} I}{2 π r}, & R_{1} \leq r < R_{2}, \\ \frac{μ_{0} I}{2 π r} \frac{R_{3}^{2} - r^{2}}{R_{3}^{2} - R_{2}^{2}}, & R_{2} \leq r < R_{3}, \\ 0, & r \geq R_{3} . \end{cases}

在外导体内部，包围电流应为内导体总电流减去外导体已包围部分的反向电流。电缆外部包围净电流为零，因此理想同轴电缆外部磁场为零。

10. 磁通量

通过曲面 $S$ 的磁通量为

Φ_{B} = \int_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} .

若 $\vec{B}$ 在平面面积上均匀，才可写成

Φ_{B} = B S \cos θ,

$θ$ 是磁场与面积法向量的夹角，而不是磁场与平面的夹角。长直导线附近 $B = μ_{0} I / (2 π r)$ 随距离变化，矩形面积的磁通必须积分，常出现对数：

Φ_{B} = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{μ_{0} I}{2 π r} l d r = \frac{μ_{0} I l}{2 π} \ln \frac{r_{2}}{r_{1}} .

11. 载流导线在磁场中受力

电流元所受安培力为

d \vec{F} = I, d \vec{l} \times \vec{B} .

均匀磁场中的直导线可积分为

\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B},

大小 $F = I l B \sin θ$ 。若磁场随位置变化，不能给整段导线随意选一个 $B$ ，必须写成 $d F = I, d l B (r)$ 后积分。

两根平行长直导线间单位长度作用力为

\frac{F}{l} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 π d} .

同向电流相吸，反向电流相斥。

12. 闭合线圈的合力与力矩

均匀磁场中任意闭合载流线圈所受合力为零，但一般可受非零力矩。若外磁场非均匀，线圈合力也可能不为零。

矩形线圈位于长直导线一侧时，靠近导线的平行边受力较大、远边较小，形成指向或远离直导线的合力；两条垂直边受力大小经积分可能相等、方向相反而抵消。

13. 磁矩与磁力矩

$N$ 匝平面线圈面积为 $S$ 、电流为 $I$ ，磁矩为

{\vec{p}}_{m} = N I \vec{S},

方向按电流的右手螺旋定则确定。均匀磁场中线圈力矩为

\vec{M} = {\vec{p}}_{m} \times \vec{B},

大小

M = p_{m} B \sin θ = N I S B \sin θ .

$θ$ 是磁矩与磁场的夹角。线圈平面与磁场平行时，磁矩与磁场垂直，力矩最大；线圈平面与磁场垂直时，磁矩平行或反平行磁场，力矩为零。

14. 磁势能与磁力矩做功

线圈在均匀磁场中的磁势能为

E_{p} = - {\vec{p}}_{m} \cdot \vec{B} = - p_{m} B \cos θ .

磁力矩把线圈从 $θ_{1}$ 转到 $θ_{2}$ 所做的功为

W_{M} = E_{p} (θ_{1}) - E_{p} (θ_{2}) = p_{m} B (\cos θ_{2} - \cos θ_{1}) .

稳定平衡对应 ${\vec{p}}_{m}$ 与 $\vec{B}$ 同向，势能最小；反向是非稳定平衡。

典型模型与方法

模型一：组合载流导线求场

把导线按几何形状拆分。直线段用有限或无限长直导线公式，圆弧用圆弧公式；场点位于某直线延长线上时该段贡献为零。最后在统一坐标系中叠加各分量。

模型二：同轴电缆

按积分圆半径所在区域分四段。每一段都先计算环路包围的净电流 $I_{i n} (r)$ ，再代入 $B 2 π r = μ_{0} I_{i n}$ ，不要背诵结果而跳过包围电流。

模型三：长直导线旁矩形区域的磁通

取距直导线为 $r$ 、宽度为 $d r$ 、长度为 $l$ 的窄条，写 $d S = l, d r$ ，再积分 $B (r) d S$ 。积分上下限必须是矩形两边到导线的实际距离。

模型四：长直导线与矩形线圈相互作用

逐边判断电流方向和 $\vec{l} \times \vec{B}$ 。平行于长直导线的两边可使用各自位置的恒定 $B$ ；垂直边的 $B$ 随位置变化，要积分。合力与合力矩需要分别判断，不能互相代替。

易错点

对负电荷仍直接使用正电荷的右手定则方向。
忘记磁场力不做功，却说磁场让粒子速率增加。
圆弧公式中的圆心角使用角度制而不是 rad。
组合导线只加磁场大小，不在统一坐标中处理方向。
安培环路中把环路外电流也计入 $I_{i n}$ ，或漏掉反向电流的负号。
同轴电缆外导体区域只计算外层被包围电流，忘记内导体的全部电流。
磁通量公式中的角度误用为磁场与平面的夹角。
非均匀磁场中的长导线仍直接套 $F = B I l$ 。
把线圈平面与磁场的夹角直接代入 $M = p_{m} B \sin θ$ ，忽略公式中的 $θ$ 是磁矩与磁场夹角。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
9-10	空间组合导线磁场	毕奥-萨伐尔、右手定则	不同导线段产生不同坐标方向的场
9-12	有限直线与圆弧组合	有限直导线、圆弧公式	统一圆心角和端点几何关系
9-15	双直导线场与矩形磁通	磁场叠加、面积积分	积分上限是到导线距离，不是矩形宽度本身
9-16	同轴电缆分区场	安培环路、均匀电流密度	外导体区域正确计算包围净电流
9-19	半圆线圈的磁力矩与功	磁矩、势能	闭合线圈面积为半圆面积；看磁矩与场夹角
9-20	非均匀场中的线框受力	安培力积分	逐边求力，区分合力与合力矩

NOTE

PDF 的 9-16 题干把外导体的内外半径都印成了 $R_{2}$ ；其题解和分区公式明确表明应为 $R_{2}$ 、 $R_{3}$ ，本页已按正确符号整理。

快速自查

磁场力为什么不能改变带电粒子的速率？
圆弧和有限直导线在场点产生磁场时，方向分别怎样判断？
安培环路定理什么时候能直接用于求磁场？
同轴电缆外导体内部的包围净电流怎样写？
长直导线旁矩形面积的磁通为什么出现对数？
均匀磁场中的闭合线圈合力和力矩分别可能是多少？
线圈平面与磁场平行时，磁力矩为何最大？

七、恒定磁场 ​

复习目标 ​

知识地图 ​

核心知识点 ​

1. 磁感应强度与洛伦兹力 ​

2. 带电粒子在均匀磁场中的运动 ​

3. 毕奥-萨伐尔定律 ​

4. 直导线的磁场 ​

5. 圆电流与圆弧 ​

6. 磁场的高斯定理 ​

7. 安培环路定理 ​

8. 均匀载流圆柱导体 ​

9. 同轴电缆的分区磁场 ​

10. 磁通量 ​

11. 载流导线在磁场中受力 ​

12. 闭合线圈的合力与力矩 ​

13. 磁矩与磁力矩 ​

14. 磁势能与磁力矩做功 ​

典型模型与方法 ​

模型一：组合载流导线求场 ​

模型二：同轴电缆 ​

模型三：长直导线旁矩形区域的磁通 ​

模型四：长直导线与矩形线圈相互作用 ​

易错点 ​

本章习题反推重点 ​

快速自查 ​