CH.02DYNAMICS

二、质点动力学

复习目标

• 会选研究对象、画受力图，并在合适方向建立牛顿第二定律。
• 掌握功、功率、动能定理以及保守力与势能的关系。
• 掌握冲量、动量定理和动量守恒的适用条件。
• 会判断何时机械能守恒、何时只能使用功能关系。
• 能处理位置变力、时间变力、速度阻力和多物体系统。

知识地图

主线	核心公式	高频模型
瞬时动力学	$\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$	斜面、圆周、法向力
空间累积效应	$W=\int \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$	位置变力、漏水桶
时间累积效应	$\overrightarrow{I}=\int \overrightarrow{F}dt$	时间变力、碰撞
功和能	$W_{\mathrm{合}}=\mathrm{\Delta }{E}_k$	速度、制动距离
动量	$\overrightarrow{I}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$	多物体、可动槽
守恒定律	$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=0$、$\mathrm{\Delta }E=0$	碰撞、无摩擦系统

核心知识点

1. 牛顿运动定律与参考系

牛顿第二定律在惯性参考系中写为

$$\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}.$$

$\sum \overrightarrow{F}$ 是作用在同一研究对象上的外力矢量和，$m$ 是惯性质量。实际列式时通常分解为

$$\sum F_x=m{a}_x,\sum F_y=m{a}_y.$$

牛顿第三定律的一对作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在不同物体上，不能在同一个物体的受力图中相互抵消。

标准步骤：选对象 → 隔离对象 → 画真实外力 → 选轴 → 分解力 → 列分量方程。不要在受力图中画“向心力”，向心力是指向圆心的合力效果，不是一种额外的新力。

2. 常见力及方向判断

• 重力：$\overrightarrow{G}=m\overrightarrow{g}$，近地面范围内竖直向下。
• 弹簧弹力：$\overrightarrow{F}=-k\overrightarrow{x}$，$k$ 为劲度系数，$\overrightarrow{x}$ 是相对自然长度的形变量，负号表示回复性。
• 滑动摩擦力：$f_k={\mu }_{k}N$，沿接触面且与相对滑动方向相反。
• 静摩擦力：$0\le f_s\le {\mu }_{s}N$，其大小由动力学方程决定，并不总等于最大值。
• 线性阻力：$\overrightarrow{f}=-k\overrightarrow{v}$，只适用于题目明确阻力与速度成正比的模型。

3. 功与变力做功

力对质点从 $A$ 到 $B$ 做的功为

$$W_{AB}={\int }_A^B\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}.$$

在直角坐标系中，

$$W=\int (F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz).$$

恒力且位移为 $\overrightarrow{s}$ 时才可简化为

$$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}=Fs\cos \theta .$$

功是标量，单位为 J。正功使该力倾向于增加动能，负功使其倾向于减少动能，零功可能是力与瞬时位移始终垂直。

一维位置变力 $F=F(x)$ 的功等于 $F-x$ 图像下的代数面积：

$$W={\int }_{x_1}^{x_2}F(x)dx.$$

4. 功率

平均功率和瞬时功率为

$$\overline{P}=\frac{W}{\mathrm{\Delta }t},P=\frac{dW}{dt}=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}=Fv\cos \theta .$$

功率单位为 W。若只给总功和总时间，求的是平均功率；若给某时刻的力和速度，求的是瞬时功率。

5. 动能定理

质点动能为

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2.$$

合外力对质点所做的总功等于动能增量：

$$W_{\mathrm{合}}=\mathrm{\Delta }{E}_k=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2.$$

动能定理不要求力恒定，也不要求机械能守恒。若题目只关心初、末速率而不关心时间，动能定理通常比直接求加速度更快。

6. 保守力、势能和机械能

保守力做功只与初、末位置有关，并满足

$$W_{\mathrm{保}}=-\mathrm{\Delta }{E}_p.$$

常见势能包括

$$E_{p,g}=mgh,qquad{E}_{p,s}=\frac{1}{2}k{x}^2.$$

若系统内只有保守力做功，则机械能守恒：

$$E_k+E_p=\text{常量}.$$

若存在摩擦力、外力等非保守力，应写成功能关系

$$W_{\mathrm{非}\mathrm{保}}=\mathrm{\Delta }(E_k+E_p).$$

机械能守恒是有条件的；动能定理则始终成立。

7. 冲量与动量定理

质点动量为 $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$。力在时间上的累积效应是冲量：

$$\overrightarrow{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}dt.$$

动量定理为

$${\overrightarrow{I}}_{\mathrm{合}}=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=m{\overrightarrow{v}}_2-m{\overrightarrow{v}}_1.$$

若 $F=F(t)$，冲量等于 $F-t$ 图像下的代数面积。短时碰撞中普通有限力的冲量往往可忽略，但巨大的碰撞力冲量不能忽略。

8. 质点系动量守恒

质点系总动量满足

$$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}=\sum {\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}.$$

当系统所受合外力为零，或某段时间内合外力冲量为零时，

$${\overrightarrow{P}}_{\mathrm{初}}={\overrightarrow{P}}_{\mathrm{末}}.$$

守恒可以只在某一方向成立。例如放在光滑水平面上的小球与弧形槽系统，竖直方向受地面支持力，竖直动量不守恒；水平方向外力为零，因此水平动量守恒。

9. 碰撞的分类

• 完全弹性碰撞：动量守恒且总动能守恒。
• 非弹性碰撞：动量守恒，但总动能减少。
• 完全非弹性碰撞：碰后物体具有共同速度，动能损失最大。

碰撞题先检查动量守恒方向，再根据“弹性”“粘在一起”等关键词补充能量条件。不能因为碰撞时间短就自动认为动能守恒。

10. 速度成正比的阻力

若质量为 $m$ 的物体只受 $\overrightarrow{f}=-k\overrightarrow{v}$，沿初速度方向列式：

$$m\frac{dv}{dt}=-kv.$$

由初始条件 $v(0)=v_0$ 得

$$v(t)=v_0{e}^{-kt/m}.$$

速度随时间指数衰减，理论上无限久后趋近于零。总位移为

$$x_{max}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}v(t)dt=\frac{m{v}_0}{k}.$$

也可使用 $mv,dv/dx=-kv$，在 $v=0$ 时求停止距离。

11. 法向动力学

曲线运动中沿法向列牛顿第二定律：

$$\sum F_n=m{a}_n=m\frac{v^2}{\rho }.$$

若已知 $\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{a}$，合力的法向分量大小为

$$F_n=m{a}_n=m\frac{|\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{a}|}{v},v\ne 0.$$

这里的“法向力分量”不一定等于接触面的支持力，要根据题目语境区分。

典型模型与方法

模型一：$F(x)$ 型变力做功

沿运动方向写出力的代数分量，计算 $W=\int F(x)dx$，再用动能定理求速度。若力是矢量，应先做点积或逐分量积分。

模型二：$F(t)$ 型时间变力

计算 $\overrightarrow{I}=\int \overrightarrow{F}(t)dt$，由动量定理求速度。若题目同时给出末速度和力停止作用的时刻，还可反求质量。

模型三：漏水桶等变重力问题

桶匀速上升时，人的拉力等于当时总重力，但质量随高度改变。把质量写成高度函数 $m(y)$，计算

$$W={\int }_0^{H}m(y)gdy.$$

不能用初始总重力乘总高度。

模型四：小球-可动槽系统

以小球和槽整体为系统，水平方向动量守恒；若无摩擦，机械能守恒。用两个方程联立求小球对地速度与槽速度。题目所问“脱离时速度”要确认是相对地面还是相对槽。

易错点

• 受力图中混入加速度、速度或“向心力”等非真实力。
• 把一对作用力和反作用力画在同一个研究对象上并抵消。
• 变力做功直接使用 $Fs$，或忘记点积中的方向余弦。
• 把“合力做功”等同于“机械能变化”；正确关系是合力功等于动能变化。
• 未检查系统和外力，就直接宣称动量或机械能守恒。
• 碰撞中同时套用动量守恒和机械能守恒，却没有“完全弹性”条件。
• 只判断合外力是否为零，忽略某一方向仍可能单独动量守恒。
• 法向合力分量与接触支持力概念混淆。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
2-5	合外力做功	速度分量、动能定理	由运动方程求两时刻速率
2-8	位置变力做功	定积分	计算 ${\int }_0^{10}(4+5x)dx$
2-11	多个力分别做功	动能定理	总功等于动能增量，再减去已知力的功
2-15	线性阻力	牛顿第二定律、分离变量	求指数速度和总进入深度
2-17	时间变力、法向分量	冲量、曲线运动	先积分求速度，再投影合力到法向
2-25	力-时间关系	冲量、动量	由 $F=0$ 求作用时间，由冲量反求质量
2-29	恒力功与功率	点积、动能定理	位移含三维分量，功率区分平均值
2-31	质量随高度变化	变力做功	把水和桶总质量写成高度函数
2-38	可动弧形槽	水平动量、机械能	两个守恒方程联立，注意参考系

快速自查

1. 画受力图时，哪些量绝不能当作力画进去？
2. 动能定理和机械能守恒的适用范围有何不同？
3. $F(x)$ 与 $F(t)$ 分别优先计算什么？
4. 判断动量守恒时，为什么必须先明确系统和方向？
5. 完全弹性碰撞比普通碰撞多了什么条件？
6. 线性阻力模型中的速度为什么是指数衰减？
7. 漏水桶问题为什么不能用平均质量的直觉值直接计算？