CH.06DIELECTRICS

六、导体和电介质

复习目标

• 掌握导体静电平衡的基本性质和电荷分布规律。
• 理解静电屏蔽、接地和空腔问题的基本判断方法。
• 掌握电容定义以及常见电容器的场、电势差和电容。
• 理解电介质极化、电位移矢量和介质中的高斯定理。
• 会处理多层电介质和分段电势积分。
• 掌握电容器能量与电场能量密度，能比较不同区域储存的能量。

知识地图

模块	核心内容	高频题型
静电平衡导体	$E_{\mathrm{内}}=0$、等势、表面电荷	球壳、空腔、接地
电容器	$C=Q/U$	平行板、球形、双线电容
电介质	极化、束缚电荷	插入介质后的场和电容
电位移	$\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}$	多层介质、高斯定理
静电能	$u=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}/2$	区域能量比、能量变化

核心知识点

1. 导体的静电平衡

导体达到静电平衡时，自由电荷不再发生宏观定向移动。此时具有以下性质：

1. 导体内部电场强度为零：${\overrightarrow{E}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=0$。
2. 导体内部和表面处处等势。
3. 导体净电荷只能分布在表面。
4. 紧贴导体表面外侧的电场方向垂直于表面；若存在切向分量，自由电荷仍会移动。

由跨越导体表面的薄高斯柱可得真空侧法向场强

$$E_n=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0},$$

其中 $\sigma$ 为该处自由面电荷密度。尖端曲率半径小的区域通常电荷密度更大，外侧场更强，容易发生尖端放电。

2. 导体空腔与静电屏蔽

若导体空腔内没有电荷，静电平衡时空腔内场强为零。外部电场不能穿入封闭导体空腔，这称为静电屏蔽。

若空腔内放入电荷 $q$ 且不与导体接触，为保证导体材料内部 $E=0$，空腔内表面感应总电荷必为 $-q$。若导体原净电荷为 $Q$，则外表面总电荷为 $Q+q$。具体面密度是否均匀还取决于几何对称性。

3. 接地的含义

接地导体与大地交换电荷后，其电势被固定为参考电势，通常取 $V=0$。接地不等于导体上“没有电荷”；为了维持零电势，导体表面仍可能存在感应电荷。

判断接地问题时应同时使用：导体等势、导体内部 $E=0$、电荷可与大地交换，以及边界条件。

4. 电容的定义

两个相互绝缘的导体带等量异号电荷 $\pm Q$ 时构成电容器。电容定义为

$$C=\frac{Q}{U},$$

其中 $Q$ 指任一极板所带电荷量的绝对值，$U=V_{+}-V_{-}$ 是两极板电势差。线性介质中，$C$ 只由导体几何形状和介质决定，与当时的 $Q,U$ 数值无关。

电容单位为 F，常用单位还有 $\mu \mathrm{F}$、nF、pF。

5. 平行板电容器

忽略边缘效应、极板面积为 $S$、间距为 $d$、板间充满介电常数为 $\epsilon$ 的均匀介质时，

$$E=\frac{{\sigma }_f}{\epsilon },U=Ed,C=\frac{\epsilon S}{d}.$$

${\sigma }_f=Q/S$ 是自由面电荷密度。只有在极板足够大且 $d$ 远小于极板线度时，才能忽略边缘效应。

6. 球形电容器

两个同心导体球面半径为 $R_1<R_2$，带电 $\pm Q$，中间介质为 $\epsilon$。两球面间

$$E(r)=\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}.$$

电势差为

$$U={\int }_{R_1}^{R_2}E(r)dr=\frac{Q}{4\pi \epsilon }(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}).$$

所以

$$C=4\pi \epsilon \frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}.$$

当 $R_2\to \mathrm{\infty }$ 时，得到孤立导体球电容 $C=4\pi \epsilon R_1$。

7. 电容器串联与并联

并联电容器电势差相同：

$$C_{\mathrm{e}\mathrm{q}}=\sum _i{C}_i.$$

串联电容器各电容带电量绝对值相同：

$$\frac{1}{C_{\mathrm{e}\mathrm{q}}}=\sum _i\frac{1}{C_i}.$$

多层介质沿电场方向分层，常等效为串联；介质按极板面积并排分区，常等效为并联。等效前要先判断各区域是“同电荷”还是“同电压”。

8. 电介质极化

电介质置于外电场后，分子电偶极矩发生取向或诱导变化，宏观上出现极化。极化产生的束缚电荷会建立与原场相反的附加场，使介质内总场减弱。

在线性、各向同性介质中，

$$\overrightarrow{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\overrightarrow{E},$$$$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r={\epsilon }_0(1+{\chi }_e),$$

其中 $\overrightarrow{P}$ 是极化强度，${\chi }_e$ 是电极化率，${\epsilon }_r$ 是相对介电常数。

9. 电位移矢量与介质高斯定理

定义电位移矢量

$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}.$$

在线性各向同性介质中简化为

$$\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}.$$

介质中的高斯定理为

$${\oint }_S\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=Q_{f,\mathrm{i}\mathrm{n}},$$

右侧只计算自由电荷，不计算极化产生的束缚电荷。这使含介质的高对称问题通常先求 $D$，再由 $E=D/\epsilon$ 求电场。

10. 介质分界面的边界关系

跨越两介质界面的薄高斯柱给出

$$D_{2n}-D_{1n}={\sigma }_f,$$

${\sigma }_f$ 是界面自由面电荷密度。若界面没有自由电荷，则法向分量 $D_n$ 连续。静电场满足

$$E_{2t}=E_{1t},$$

即切向电场连续。

当电场垂直穿过无自由电荷的分层界面时，$D$ 连续，而 $E=D/\epsilon$ 会随介电常数改变。因此“$D$ 连续”不等于“$E$ 连续”。

11. 多层介质球形电容器

若 $R_1<r<R_2$ 的介电常数为 ${\epsilon }_1$，$R_2<r<R_3$ 为 ${\epsilon }_2$，内导体带 $+Q$、外导体带 $-Q$，则

$$D(r)=\frac{Q}{4\pi r^2},R_1<r<R_3.$$

分区电场为

$$E_1(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_1{r}^2},E_2(r)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_2{r}^2}.$$

电势差必须分段积分：

$$U=\frac{Q}{4\pi }[\frac{1}{{\epsilon }_1}(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2})+\frac{1}{{\epsilon }_2}(\frac{1}{R_2}-\frac{1}{R_3})].$$

再由 $C=Q/U$ 求总电容。该系统等效为两个球形电容串联。

12. 双线电容器的基本方法

两根半径为 $a$、轴间距为 $d$ 且 $d\gg a$ 的平行长直导线，单位长度带电量分别为 $\pm \lambda$。两导线连线上，两线电荷产生的场方向相同，应相加。由表面到表面积分可得近似电势差

$$U\approx \frac{\lambda }{\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{d}{a}.$$

单位长度电容为

$$C^{\prime }=\frac{\lambda }{U}\approx \frac{\pi {\epsilon }_0}{\ln (d/a)}.$$

积分必须从导体表面开始，不能从理想线电荷的轴心 $r=0$ 开始，否则场发散。

13. 电容器储能

给电容器充电时，后续电荷必须克服已有电场做功。电容器能量为

$$W=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{Q^2}{2C}.$$

三种形式如何选择取决于过程中保持不变的量。孤立电容器断开电源时通常 $Q$ 不变；接在理想恒压电源上时通常 $U$ 不变。

14. 电场能量密度

电场能量分布在空间中。线性介质内能量密度为

$$u_e=\frac{1}{2}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{D^2}{2\epsilon }.$$

总能量为

$$W={\int }_V{u}_{e}dV.$$

球对称问题使用 $dV=4\pi r^{2}dr$；柱对称单位长度问题使用 $dV=2\pi rdr$。必须按电场表达式改变的位置分区积分。

15. 均匀带电实心球的内外能量

半径 $R$、总电荷 $Q$ 的均匀带电球体在真空中

$$E_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{Qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3},E_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}.$$

分别计算

$$W_{\mathrm{i}\mathrm{n}}={\int }_0^R\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}^2,4\pi r^{2}dr,$$$$W_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}={\int }_R^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^2,4\pi r^{2}dr,$$

可得

$$W_{\mathrm{i}\mathrm{n}}:W_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=1:5.$$

这说明电场能量不仅存在于带电体内部，也储存在其外部空间。

典型模型与方法

模型一：导体球壳与空腔

先用导体材料内部 $E=0$ 判断内表面感应总电荷，再用导体总电荷守恒判断外表面电荷。若存在球对称，才可进一步断定面电荷均匀。

模型二：多层介质

1. 用 $\oint \overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=Q_f$ 求各区域 $D$。
2. 用 $E=D/{\epsilon }_i$ 求各介质层电场。
3. 按介质分界面分段积分 $U=\int E,dl$。
4. 由 $C=Q/U$ 求电容，并用串并联等效复核。

模型三：插入介质后的能量判断

先判断电容器是否与电源连接。断开电源时 $Q$ 不变，使用 $W=Q^2/(2C)$；保持连接时 $U$ 不变，使用 $W=C{U}^2/2$。若求外力功，还要考虑电源对系统做功，不能只比较电场能。

模型四：分区计算场能

先列出各空间区域的 $E(r)$，再写对应体积元和积分上下限。比值题中可先保留公共系数，最后约去，减少计算量。

易错点

• 认为导体内部 $E=0$ 就意味着导体电势为零。
• 接地后直接把导体电荷设为零。
• 把 $C=Q/U$ 理解成电容随 $Q$ 或 $U$ 改变。
• 使用介质高斯定理时把束缚电荷也计入右侧自由电荷。
• 分层介质中认为 $D$ 和 $E$ 都连续，忽略介电常数变化。
• 题目给绝对介电常数 $\epsilon$ 时又额外乘一次 ${\epsilon }_0$。
• 跨越不同介质仍使用一个 $E(r)$ 公式完成全部积分。
• 计算静电能时漏掉带电体外部空间，或球坐标体积元漏写 $r^2$。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
8-5	均匀带电球内外静电能	高斯定理、能量密度	内外分区积分，结果为 $1:5$
L8-1	两平行长直导线电容	线电荷场、电势差积分	两导线间场方向相同，积分从表面到表面
L8-2	多层介质球形电容器	$\overrightarrow{D}$ 高斯定理、分段积分	先求 $D$，再按 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$ 分区求 $E,U,C$

PDF 明确强调第八章例题必须复习。习题数量虽少，但 8-5 与 L8-2 已经覆盖本章最容易综合考查的“分区场 + 能量/电势积分”能力。

快速自查

1. 静电平衡导体有哪些必须同时成立的性质？
2. 空腔内有电荷时，内外表面总电荷如何判断？
3. 接地为什么不意味着导体表面没有电荷？
4. 多层介质问题为什么通常先求 $D$ 而不是直接求 $E$？
5. 无自由电荷的介质界面上，$D_n$ 与 $E_n$ 是否都连续？
6. 电容器断开电源和保持接通时，分别什么量不变？
7. 计算电场总能量时，如何确定积分区域和体积元？