CH.08INDUCTION

八、变化的电磁场

复习目标

• 掌握磁通量、法拉第电磁感应定律和楞次定律。
• 能处理磁场随时间变化、线框运动和导体转动产生的感应电动势。
• 理解感生电动势与动生电动势的来源和统一表达。
• 掌握自感、互感、磁场能量和简单暂态关系。
• 理解变化电场产生磁场以及位移电流的基本思想。

知识地图

模块	核心公式	高频题型
电磁感应	$\mathcal{E}=-d{\mathrm{\Phi }}_B/dt$	时变电流、变面积、转动线圈
方向判断	楞次定律	感应电流顺逆时针
动生电动势	$\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$	平动线框、转动棒
感生电场	$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-d{\mathrm{\Phi }}_B/dt$	变化磁场中的闭合回路
自感与互感	${\mathcal{E}}_L=-L,dI/dt$	线圈电流变化
磁场能量	$W_m=L{I}^2/2$	能量和能量密度

核心知识点

1. 磁通量与磁通链

通过选定曲面的磁通量为

$${\mathrm{\Phi }}_B={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}.$$

均匀磁场、平面线圈时可写成

$${\mathrm{\Phi }}_B=BS\cos \theta ,$$

$\theta$ 是磁场与面积正法向的夹角。线圈绕行正方向与面积正法向由右手规则绑定：右手四指沿正绕向，拇指指向正法向。

$N$ 匝线圈每匝磁通相同，磁通链为

$$\mathrm{\Psi }=N{\mathrm{\Phi }}_B.$$

磁通量改变可能来自 $B$ 变化、面积 $S$ 变化、夹角 $\theta$ 变化或线圈进入不同磁场区域。

2. 法拉第电磁感应定律

闭合回路中的感应电动势为

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt},$$

$N$ 匝线圈为

$$\mathcal{E}=-N\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}=-\frac{d\mathrm{\Psi }}{dt}.$$

电动势单位为 V。负号不是说电动势数值必须为负，而是表示在预先规定的回路正方向下，感应电动势总是反抗磁通量的变化。

若题目只求大小，可以先算

$$|\mathcal{E}|=\left|\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\right|,$$

再单独用楞次定律判断方向。

3. 楞次定律

感应电流产生的磁场总要阻碍原磁通量的变化：

• 原磁通增加，感应磁场与原磁场反向。
• 原磁通减少，感应磁场与原磁场同向，以阻止其减少。

“阻碍变化”不等于“永远与原磁场反向”。标准判断步骤：确定原磁场方向 → 判断穿过回路的原磁通在增大还是减小 → 确定感应磁场方向 → 用右手螺旋定则判断感应电流方向。

4. 感生电场

变化磁场会在空间激发涡旋电场，满足

$${\oint }_L{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}\cdot d\overrightarrow{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}.$$

感生电场的电场线是闭合曲线，因此它不是静电场，通常不能用单值电势函数描述整个闭合回路。即使空间中没有导线，变化磁场仍会产生感生电场；导线只负责让自由电荷形成可测电流。

5. 动生电动势

导体在磁场中运动时，导体内自由电荷受到洛伦兹力 $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$，沿导体发生分离。导体段 $a\to b$ 的动生电动势为

$${\mathcal{E}}_{ab}={\int }_a^b(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}.$$

若直导体长度 $l$ 以速度 $v$ 在均匀磁场中运动，且 $\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}$ 与导体两两垂直，则

$$|\mathcal{E}|=Blv.$$

正电荷受 $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ 指向的一端电势较高。若导体、速度或磁场不互相垂直，必须使用矢量点积，不能直接套 $Blv$。

6. 感应电动势的统一形式

一般运动回路的电动势可写为

$$\mathcal{E}={\oint }_L({\overrightarrow{E}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}.$$

前一项来自变化磁场产生的感生电场，后一项来自导体运动。对闭合回路，它与磁通变化率形式相容：

$$\mathcal{E}=-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}.$$

解题时可以选择“磁通变化法”或“逐段动生电动势法”，应选几何关系更简单的一种。

7. 长直导线旁的移动矩形线框

长直导线电流为恒定 $I$，距导线 $r$ 处

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

矩形线框高为 $l_2$、宽为 $l_1$，近边距导线为 $a$，则磁通量大小为

$${\mathrm{\Phi }}_B=in{t}_a^{a+l_1}B(r)l_{2}dr=\frac{{\mu }_{0}I{l}_2}{2\pi }\ln \frac{a+l_1}{a}.$$

线框以速度 $v=da/dt$ 远离导线时，

$$|\mathcal{E}|=\frac{{\mu }_{0}I{l}_{2}v}{2\pi }(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+l_1}).$$

远离时原磁通量减小，感应电流产生与原磁场同向的磁场。也可只计算两条竖直边的 $Blv$ 之差，水平边的 $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ 与线元垂直，不贡献电动势。

8. 时变电流产生的感应电动势

若长直导线电流 $I(t)$ 变化，磁场为

$$B(r,t)=\frac{{\mu }_{0}I(t)}{2\pi r}.$$

先对线圈面积积分得到

$${\mathrm{\Phi }}_B(t)=KI(t),$$

其中几何系数 $K$ 常含对数，再求

$$\mathcal{E}=-K\frac{dI}{dt}.$$

若有多根导线，必须先判断各导线在线圈区域产生磁场的方向，再带符号叠加磁通。电流方向相反不必然意味着该区域磁场相消，取决于线圈位于导线哪一侧。

9. 转动导体棒

导体棒绕棒上一点 $O$ 以角速度 $\omega$ 在垂直磁场中转动。距轴为 $r$ 的微元速度 $v=\omega r$，沿径向微元的电动势为

$$d\mathcal{E}=B\omega rdr.$$

从转轴到距轴 $R$ 的端点：

$${\mathcal{E}}_{O\to R}={\int }_0^{R}B\omega r,dr=\frac{1}{2}B\omega R^2.$$

若棒跨过转轴，两端到轴距离分别为 $R_a,R_b$，则两端电势差的大小来自两个端点相对转轴电势的比较：

$$V_b-V_a=\frac{1}{2}B\omega (R_b^2-R_a^2),$$

式中正负还取决于 $\overrightarrow{\omega }$ 与 $\overrightarrow{B}$ 的相对方向。不能把整根棒简单代入 $Blv$，因为各点线速度不同。

10. 自感

线圈自身电流产生的磁通链与电流成正比：

$$\mathrm{\Psi }=LI,$$

$L$ 为自感系数，单位为 H。若线圈形状和介质不变，$L$ 可视为常量，自感电动势为

$${\mathcal{E}}_L=-L\frac{dI}{dt}.$$

自感电动势总是阻碍线圈自身电流的变化：电流增加时阻碍增加，电流减小时试图维持原电流。它并不是永远与电流方向相反。

11. 互感

线圈 1 的电流在另一线圈 2 中产生磁通链，可写为

$${\mathrm{\Psi }}_{21}=M{I}_1.$$

线圈 2 中的互感电动势为

$${\mathcal{E}}_2=-M\frac{d{I}_1}{dt}.$$

$M$ 是互感系数。对线性互易系统有 $M_{12}=M_{21}$，但感应电动势正负仍由线圈绕向和参考方向决定。

12. 自感线圈的磁场能量

建立电流的过程中，电源克服自感电动势做功，能量储存在磁场中：

$$W_m=\frac{1}{2}L{I}^2.$$

在线性介质中，磁场能量密度为

$$u_m=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{H}=\frac{B^2}{2\mu }.$$

总磁场能量为 $W_m=\int u_m,dV$。真空中 $\mu ={\mu }_0$。

13. 位移电流与全电流定律

变化电场也能产生磁场。真空中的位移电流为

$$I_D={\epsilon }_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt},$$

其中 ${\mathrm{\Phi }}_E$ 是电通量。安培-麦克斯韦环路定律为

$${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0(I_C+{\epsilon }_0\frac{d{\mathrm{\Phi }}_E}{dt}).$$

在充电电容器中，导线上的传导电流 $I_C$ 与极板间的位移电流连续，从而消除普通安培定律选取不同曲面时的矛盾。位移电流不表示电荷真的穿过电介质间隙。

典型模型与方法

模型一：回路不动、磁场随时间变

固定回路的几何面积不变，先写 ${\mathrm{\Phi }}_B(t)=\int B(r,t)dS$，再求 $-d{\mathrm{\Phi }}_B/dt$。若 $B$ 空间不均匀，要先做空间积分，不能把某一点的 $B$ 当作整面场强。

模型二：恒定磁场中的运动回路

可用磁通变化法，也可逐段计算 $\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$。平移线框题通常只有与 $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ 平行的两边贡献，二者之差给出总电动势。

模型三：偏心转动棒

以转轴为分界分别积分两段。各端相对 $O$ 的电势变化与距离平方有关，先求 $V_a-V_O$、$V_b-V_O$，再相减，最不容易丢符号。

模型四：方向判断

用法拉第定律求大小，用楞次定律求闭合回路电流方向；若题目问导体棒哪端电势高，直接用正电荷受力方向 $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ 判断。

易错点

• 未规定回路正方向和面积正法向就直接给带符号电动势。
• 把“阻碍磁通变化”说成“感应磁场总与原磁场相反”。
• 磁场空间不均匀时仍写 $\mathrm{\Phi }=BS$。
• 线框移动时把四条边都套用 $Blv$，不检查点积方向。
• 用 $Blv$ 处理转动棒，忽略不同位置的 $v=\omega r$。
• 混淆感生电场与静电场，误认为感生电场沿闭合回路积分为零。
• 认为自感电动势永远与电流反向，而不是与电流变化趋势相反。
• 把位移电流理解为自由电荷穿过电容器间隙。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
10-20	两根时变电流导线与方线圈	长直导线场、磁通积分	先判断两磁场在线圈处方向，再对面积积分并求 $dI/dt$
10-22	长直导线旁平移线框	非均匀磁通、楞次定律	近边与远边动生电动势不相等
10-23	偏心转动导体棒	$\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$、积分	分别用 $r_a=l/3$、$r_b=2l/3$ 比较端点电势

WARNING

PDF 的习题 10 只有题目，没有配套题解；上表及本页针对三道勾题的分析均为根据题型推断。PDF 的第十章例题区也只有占位内容。

快速自查

1. 楞次定律中的“阻碍”究竟阻碍的是什么？
2. 磁通量变化可以由哪四类因素引起？
3. 感生电动势和动生电动势的物理来源有何不同？
4. 长直导线旁移动线框的磁通为什么必须积分？
5. 转动棒为什么要积分 $B\omega r,dr$？
6. 自感电动势在电流减小时方向如何判断？
7. 位移电流解决了普通安培定律的什么问题？