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三、刚体力学基础

复习目标

• 理解刚体平动与转动的区别，掌握角位置、角速度和角加速度。
• 会计算常见刚体对指定转轴的转动惯量。
• 熟练使用定轴转动定律、转动动能定理和机械能守恒。
• 掌握角动量定理及角动量守恒的条件。
• 会处理有质量滑轮、细杆下摆、短时碰撞和碰后上摆等综合过程。

知识地图

模块	核心量	高频题型
转动运动学	$\theta ,\omega ,\alpha$	匀变速转动、绳轮约束
转动惯量	$I=\int r_{\perp }^{2}dm$	细杆、圆柱、平行轴
转动动力学	$\sum M=I\alpha$	复合轮、物理摆
转动能量	$E_{kr}=I{\omega }^2/2$	下摆、摩擦减速
角动量	$L=I\omega$	杆-球碰撞
分阶段模型	碰前、碰撞、碰后	守恒定律切换

核心知识点

1. 刚体与定轴转动

刚体是任意两质点间距离在运动中保持不变的理想模型。定轴转动时，刚体上所有点具有相同的角位移 $\theta$、角速度 $\omega$ 和角加速度 $\alpha$：

$$\omega =\frac{d\theta }{dt},\alpha =\frac{d\omega }{dt}.$$

距转轴垂直距离为 $r_{\perp }$ 的质点，其线速度和切向加速度为

$$v=\omega r_{\perp },qquad{a}_t=\alpha r_{\perp }.$$

不同点的角量相同，但线速度、线加速度一般不同。

若角加速度恒定，可使用

$$\omega ={\omega }_0+\alpha t,$$$$\theta -{\theta }_0={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2,$$$${\omega }^2-{\omega }_0^2=2\alpha (\theta -{\theta }_0).$$

这些公式仅适用于 $\alpha$ 为常量的过程。

2. 力矩

力对参考点 $O$ 的力矩为

$${\overrightarrow{M}}_O=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F},$$

大小为

$$M_O=rF\sin \theta =Fd,$$

其中 $\overrightarrow{r}$ 从 $O$ 指向力的作用点，$d$ 是力的作用线到转轴的垂直距离。力矩单位为 $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，虽然与功单位量纲相同，但力矩不是能量。

定轴题中先规定正转向，再把各力矩写成带正负号的代数量。作用线通过转轴的力，其力矩为零。

3. 转动惯量

刚体对指定转轴的转动惯量为

$$I=\int r_{\perp }^{2}dm.$$

它取决于质量、质量分布和转轴位置。常用结论如下：

刚体与转轴	转动惯量
质点，距轴 $r$	$I=m{r}^2$
均匀细杆，过中心且垂直杆	$I_C=\frac{1}{12}m{L}^2$
均匀细杆，过端点且垂直杆	$I_O=\frac{1}{3}m{L}^2$
薄圆环，过圆心轴	$I=m{R}^2$
均匀实心圆盘或圆柱，过中心轴	$I=\frac{1}{2}m{R}^2$
均匀实心球，过球心	$I=\frac{2}{5}m{R}^2$

平行轴定理为

$$I_O=I_C+m{d}^2,$$

其中两轴必须平行，$d$ 是两轴距离，$I_C$ 是过质心的平行轴转动惯量。

多个刚体固连时，总转动惯量可直接相加：$I_{\mathrm{总}}=\sum I_i$，但每一项必须换算到同一转轴。

4. 定轴转动定律

绕固定轴转动的刚体满足

$$\sum M_z=I_z\alpha .$$

它是平动方程 $\sum F=ma$ 的转动对应式。$\sum M_z$ 是所有外力对该轴的力矩代数和；内力矩在理想刚体内部相互抵消。

对于长为 $L$ 的均匀细杆绕端点在竖直平面内运动，若杆与竖直向下方向夹角为 $\theta$，重力矩大小为

$$M_g=mg\frac{L}{2}\sin \theta ,$$

所以角加速度随角度变化，通常不是匀变速转动。

5. 有质量滑轮与无滑动约束

轻绳不可伸长且与滑轮无相对滑动时，绳的线加速度和滑轮角加速度满足

$$a=\alpha R.$$

若滑轮有转动惯量 $I$，两侧张力一般不相等：

$$(T_2-T_1)R=I\alpha .$$

若滑轮质量和转动惯量可忽略，才可由力矩平衡得到 $T_1=T_2$。复合轮半径不同，则对应绳的加速度分别为 $a_1=\alpha R_1$、$a_2=\alpha R_2$。

6. 转动功、转动动能和功率

力矩做元功为

$$dW=Md\theta ,$$

总功为 $W=\int Md\theta$。刚体定轴转动动能为

$$E_{kr}=\frac{1}{2}I{\omega }^2.$$

合外力矩做功等于转动动能变化：

$$W_{\mathrm{合}\mathrm{力}\mathrm{矩}}=\mathrm{\Delta }{E}_{kr}.$$

瞬时功率为

$$P=M\omega .$$

若刚体同时平动和绕质心转动，总动能为

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}_C^2+\frac{1}{2}{I}_C{\omega }^2.$$

7. 刚体转动中的机械能

只有保守力做功时，可写

$$\frac{1}{2}I{\omega }^2+E_p=\text{常量}.$$

细杆从某位置由静止摆下时，重力势能减少量等于转动动能增加量。使用能量法求角速度通常比先求随角度变化的角加速度再积分更方便。

若存在恒定阻力矩 $M_f$，则

$$-M_f\mathrm{\Delta }\theta =\mathrm{\Delta }{E}_{kr}.$$

若 $M_f$ 确实恒定，角加速度 $\alpha =-M_f/I$ 也恒定，可再用角运动学公式求停止时间。

8. 角动量与角动量定理

质点对点 $O$ 的角动量为

$${\overrightarrow{L}}_O=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}.$$

定轴转动刚体沿轴方向的角动量为

$$L_z=I_z\omega .$$

角动量定理为

$$\frac{d{\overrightarrow{L}}_O}{dt}={\overrightarrow{M}}_{O,\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}},$$

或积分形式

$${\int }_{t_1}^{t_2}{\overrightarrow{M}}_{O,\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}dt={\overrightarrow{L}}_{O,2}-{\overrightarrow{L}}_{O,1}.$$

若外力对 $O$ 的总力矩为零，或碰撞期间外力矩冲量可忽略，则系统对 $O$ 的角动量守恒。

9. 杆-球短时碰撞

带固定轴的杆与小球碰撞时，轴对系统可能施加很大冲量，因此系统线动量通常不守恒；但轴力作用线通过轴，对轴的力矩为零，所以碰撞期间常有

$$L_{O,\mathrm{初}}=L_{O,\mathrm{末}}.$$

例如小球以垂直于杆的速度撞击距轴 $r$ 处，碰前角动量大小为 $mvr$。碰后若球反弹，必须把其速度方向用正负号表示。

碰撞后杆继续上摆时，碰撞已经结束，改用机械能守恒求最大摆角。不要把碰撞和上摆两个阶段写进同一个机械能方程。

10. 完全弹性碰撞与弹簧过程

若题目明确碰撞完全弹性，碰撞阶段同时满足角动量守恒和系统动能守恒。若碰后物体压缩弹簧，则压缩阶段通常使用

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{x}_{max}^2$$

求最大压缩量，前提是水平面光滑且没有其他耗散。

典型模型与方法

模型一：复合轮连接两个物体

分别对两个悬挂物列 $\sum F=ma$，对复合轮列 $\sum M=I\alpha$，再用 $a_i=\alpha R_i$ 联立。最后由加速度方向判断哪个物体先落地，并用运动学或能量求速度。

模型二：细杆由静止释放

瞬时角加速度用 $\sum M=I\alpha$；转过一定角度后的角速度用机械能守恒。题目同时问两者时，不要误以为角加速度恒定。

模型三：碰撞后转动

1. 碰撞前：求各物体速度或杆的角速度。
2. 碰撞瞬间：绕固定轴用角动量守恒；若完全弹性，再加动能守恒。
3. 碰撞后：用转动定律、机械能或弹簧能量处理后续过程。

模型四：水平杆受分布摩擦

若均匀细杆在粗糙水平面上绕端点转动，距轴 $r$ 的质量元 $dm=(m/L)dr$ 所受摩擦为 $df=\mu gdm$，摩擦力矩应积分：

$$M_f={\int }_0^{L}rdf=\frac{1}{2}\mu mgL.$$

这相当于总摩擦力作用在距轴 $L/2$ 处，但该结论来自积分，不能随意推广到非均匀杆。

易错点

• 写转动惯量时不注明转轴，或把过中心的 $m{L}^2/12$ 用到端点轴。
• 混淆 $r$ 与力臂 $d$；力臂必须是转轴到作用线的垂直距离。
• 把有质量滑轮两侧张力设为相等。
• 无滑动约束漏写 $a=\alpha R$，或不同半径仍使用同一个线加速度。
• 重力矩随角度变化，却套用匀角加速度公式。
• 碰撞阶段使用机械能守恒，但题目未说明完全弹性。
• 固定轴系统错误使用线动量守恒；更合适的是对轴取角动量。
• 只计算碰撞阶段，不重新判断碰后阶段应使用哪条规律。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
3-10	同轴复合圆柱与双绳	转动惯量、力矩、约束	两半径对应不同线加速度和力矩
3-11	有质量滑轮	平动方程、转动方程	两侧张力不相等，联立 $a=\alpha r$
3-12、3-13	细杆下摆	重力矩、机械能	角加速度随角度变，角速度用能量求
3-14	杆受冲击后摩擦减速	角动量、分布摩擦、匀减速	碰撞与减速分阶段处理
3-16	小球撞杆后上摆	角动量、机械能	碰撞时守恒角动量，上摆时守恒机械能
3-17	杆下摆、弹性碰撞、压簧	转动定律、能量、弹性碰撞	全题按多个阶段逐段切换规律

快速自查

1. 同一个刚体上不同点的角速度和线速度分别是否相同？
2. 能否写出细杆绕中心和绕端点的转动惯量？
3. 有质量滑轮两侧张力为什么不相等？
4. 细杆下摆时，角加速度为什么通常不是常量？
5. 带固定轴的碰撞为什么常用角动量而不用线动量？
6. 碰撞后上摆为什么要重新建立能量方程？
7. 遇到综合转动题，能否主动划分碰前、碰撞和碰后三个阶段？