CH.04OSCILLATION / WAVE

四、机械振动与机械波

复习目标

• 理解简谐振动的动力学特征，能写出位移、速度和加速度表达式。
• 会根据初始位置、初始运动方向或振动图像确定振幅、周期和初相位。
• 掌握弹簧振子、竖直弹簧振子和简谐振动能量。
• 会用旋转矢量或分量法合成同方向、同频率简谐振动。
• 能由波源振动、波形图或已知波函数求传播方向、波速和相位差。
• 理解相干条件、干涉加强和减弱的判据。

知识地图

模块	核心量	常见题型
简谐振动判据	$a=-{\omega }^{2}x$	判断运动是否为简谐振动
振动方程	$x=A\cos (\omega t+\phi )$	初相位、图像、最短时间
振动能量	$E=k{A}^2/2$	最大速度、最大回复力
振动合成	相量叠加	合振幅、合初相位
简谐波	$y=A\cos (\omega t\mp kx+{\phi }_0)$	写波函数、质元振动方程
波的干涉	总相位差、强度	相干波源、加强与减弱

核心知识点

1. 简谐振动的判据

若质点相对稳定平衡位置的位移为 $x$，所受合力满足

$$F=-kx,$$

则由牛顿第二定律得到

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=0,\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

这类运动称为简谐振动。等价的运动学判据是

$$a=-{\omega }^{2}x.$$

负号表示加速度始终指向平衡位置；$\omega$ 是由系统本身决定的固有角频率，单位为 rad/s。

2. 简谐振动方程和三个特征量

简谐振动的一般表达式为

$$x=A\cos (\omega t+\phi ).$$

• $A$：振幅，质点离开平衡位置的最大距离，$A>0$。
• $\omega$：角频率，与周期、频率的关系为 $\omega =2\pi /T=2\pi f$。
• $\phi$：初相位，决定 $t=0$ 时的运动状态。
• $\omega t+\phi$：时刻 $t$ 的相位；相位差可以相差 $2n\pi$ 而代表同一状态。

速度和加速度为

$$v=-A\omega \sin (\omega t+\phi ),$$$$a=-A{\omega }^2\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x.$$

最大速率和最大加速度分别为

$$v_{max}=A\omega ,qquad{a}_{max}=A{\omega }^2.$$

在平衡位置 $x=0$ 处速率最大、加速度为零；在端点 $x=\pm A$ 处速率为零、加速度大小最大。

3. 由初始条件确定初相位

已知 $x_0=x(0)$、$v_0=v(0)$，有

$$x_0=A\cos \phi ,qquad{v}_0=-A\omega \sin \phi .$$

先由 $\cos \phi =x_0/A$ 找可能象限，再由 $v_0$ 的正负确定 $\sin \phi$ 的符号。只用反余弦会漏掉运动方向，通常会得到错误象限。

也可联立得到

$$\tan \phi =-\frac{v_0}{\omega x_0},$$

但当 $x_0=0$ 时不能直接使用，且仍要根据 $x_0,v_0$ 判断象限。

4. 相位法求最短时间

某状态由“位置 + 运动方向”共同确定。例如 $x=-A/2$ 且向负方向运动，对应的相位不是唯一的几何角，必须选取满足 $v<0$ 的那个相位。

从相位 ${\psi }_1$ 到下一次目标状态 ${\psi }_2$ 的最短时间为

$$\mathrm{\Delta }{t}_{min}=\frac{\mathrm{\Delta }{\psi }_{min}}{\omega },$$

其中 $\mathrm{\Delta }{\psi }_{min}$ 是沿相位随时间增加方向取得的最小正相位差，不能只比较两个反三角函数主值。

5. 弹簧振子与竖直弹簧

水平弹簧振子在忽略摩擦、弹簧质量且形变在线性范围内时，

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}},qquadT=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

竖直弹簧静止时满足

$$k{x}_0=mg,$$

$x_0$ 是相对原长的静伸长。若以新的静平衡位置为坐标原点，重力项与静态弹力抵消，振动方程仍为

$$m\ddot{x}=-kx.$$

因此竖直弹簧的周期仍为 $2\pi \sqrt{m/k}$，重力只改变平衡位置，不改变角频率。

6. 简谐振动的能量

弹簧振子的动能和势能为

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2,E_p=\frac{1}{2}k{x}^2.$$

总机械能为

$$E=E_k+E_p=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2.$$

也可写成

$$E_k=\frac{1}{2}k(A^2-x^2).$$

总能量与振幅平方成正比。在端点全部为势能，在平衡位置全部为动能。由最大回复力 $F_{max}=kA$ 和最大速度 $v_{max}=A\omega$ 可反求 $k,\omega ,m$。

7. 同方向同频率振动的合成

两个振动

$$x_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1),x_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$$

的合振动仍是同频简谐振动：

$$x=A\cos (\omega t+\phi ).$$

合振幅为

$$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}.$$

合初相位可由分量求出：

$$\tan \phi =\frac{A_1\sin {\phi }_1+A_2\sin {\phi }_2}{A_1\cos {\phi }_1+A_2\cos {\phi }_2}.$$

必须根据分子、分母符号确定象限。相位相同得到 $A=A_1+A_2$；相位相反得到 $A=|A_1-A_2|$。

8. 简谐波的标准表达式

若原点 $O$ 的振动为

$$y_O(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0),$$

波以速度 $u$ 沿 $+x$ 方向传播，则位置 $x$ 处的质元比原点晚振动 $x/u$，波函数为

$$y(x,t)=A\cos [\omega (t-\frac{x}{u})+{\phi }_0]=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0).$$

沿 $-x$ 方向传播时为

$$y(x,t)=A\cos (\omega t+kx+{\phi }_0).$$

其中

$$k=\frac{2\pi }{\lambda },qquadu=\lambda f=\frac{\omega }{k}.$$

$A$ 是各质元振幅，$\lambda$ 是波长，$k$ 是波数。波函数同时描述空间和时间；固定 $x=x_P$ 后，得到的是 $P$ 点质元的振动方程。

9. 相位差与传播时间

对波函数 $y=A\cos (\omega t-kx+{\phi }_0)$，两事件 $(x_1,t_1)$、$(x_2,t_2)$ 的相位差为

$$\mathrm{\Delta }\phi =\omega (t_2-t_1)-k(x_2-x_1).$$

同一时刻两点相位差为 $-k\mathrm{\Delta }x$；同一地点两时刻相位差为 $\omega \mathrm{\Delta }t$。相距一个波长的两点相位差为 $2\pi$，振动状态相同。

10. 波形图与振动图的区别

• 振动图是固定质元的 $y-t$ 图，横轴是时间，可读周期和该质元运动方向。
• 波形图是固定时刻的 $y-x$ 图，横轴是位置，可读波长，但仅凭单张波形图不能确定传播方向。

若已知传播方向，可用“波形沿传播方向平移少许”的方法判断某质元下一刻向上还是向下运动。也可对波函数求偏导：沿 $+x$ 传播时

$$\frac{\partial y}{\partial t}=-u\frac{\partial y}{\partial x}.$$

11. 行波中的能量

理想平面简谐波中，介质质元的动能密度和弹性势能密度同相变化，且在任意时刻大小相等。质元经过平衡位置时速度最大，同时局部形变通常也最大，因此动能和势能都最大；质元位于振动端点时二者都为零。

这与孤立弹簧振子的“动能和势能相互转换、总能量恒定”不同，因为行波质元会与相邻介质持续交换能量。

12. 相干波与干涉

两列波产生稳定干涉的条件是频率相同、振动方向相同且相位差恒定。若两波源初相差为 $\mathrm{\Delta }{\phi }_0={\phi }_2-{\phi }_1$，到观察点的路程分别为 $r_1,r_2$，则到达后的相位差可写为

$$\mathrm{\Delta }\phi =\mathrm{\Delta }{\phi }_0-k(r_2-r_1).$$

同方向振动的合振幅满足

$$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \mathrm{\Delta }\phi .$$

若两波强度分别为 $I_1,I_2$，合强度为

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \mathrm{\Delta }\phi .$$

加强条件是 $\mathrm{\Delta }\phi =2n\pi$；减弱条件是 $\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$。等振幅时完全相消只发生在相位相反的条件下。

典型模型与方法

模型一：由初始状态写振动方程

先由周期求 $\omega$，再把 $x_0$ 代入余弦式确定候选相位，最后用 $v_0$ 或“向正/负方向运动”选择象限。答案相差 $2n\pi$ 是等价的。

模型二：由振动曲线读方程

从纵轴读振幅，从相邻同状态点读周期；在 $t=0$ 读取位移，并根据曲线斜率判断速度正负。曲线斜率代表速度，不代表加速度。

模型三：由波形图写波函数

1. 从波形图读 $A,\lambda$，由已知周期或波速求 $\omega ,k$。
2. 选择一个已知点写其振动方程，确定初相位。
3. 根据传播方向在空间项前选 $-kx$ 或 $+kx$。
4. 代回图中一个特征点检查位移和运动趋势。

模型四：相干波源两侧的干涉

分别计算观察点到两波源的路程差，特别注意观察点位于两波源连线内部还是外侧时，路程差表达式不同。将传播相位差与波源初相差合并后，再判断加强或减弱。

易错点

• 把弹簧原长位置当作竖直振动的平衡位置。
• 只用 $x(0)$ 确定初相位，忽略初速度方向。
• 把振动图的横轴时间和波形图的横轴位置混淆。
• 波沿 $+x$ 传播却把波函数写成 $\omega t+kx$。
• 计算两点相位差时漏掉传播方向或随意取绝对值。
• 把波速当成质元振动速度；波形传播与介质质元往复运动是两种不同速度。
• 用单个弹簧振子的能量结论解释行波质元，导致 4-7 类题判断错误。
• 合初相位只算反正切主值，不检查象限。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
4-7	行波质元的能量	波的能量传播	平衡位置处动能、势能均最大
4-11	同频振动合成	相量三角形	已知合振幅及相位关系反求第二振动
4-15	竖直弹簧振子	静平衡、初相位	原长位置不是振动平衡位置
4-17、4-18	振动图与初始条件	振动方程、相位	同时使用位移和速度方向
4-19	振动能量	$F_{max},v_{max}$	先反求 $k,\omega$，再确定初相位
4-21	图像表示的振动合成	周期、相量	由两曲线读出相位关系
4-22	已知波函数	$k,\omega$ 与相位	固定 $x$ 得质元振动方程
4-24 至 4-26	由波形图或振动图写波函数	传播方向、初相位	区分 $y-x$ 图和 $y-t$ 图
4-30	相干波干涉	路程差、初相差	分别讨论两波源连线两侧区域

快速自查

1. 简谐振动的动力学判据是什么？
2. 已知 $x_0$ 和运动方向，能否唯一确定初相位所在象限？
3. 竖直弹簧振子的平衡位置在哪里，重力是否改变周期？
4. 振动图和波形图各能直接读出什么？
5. 波函数中空间项的符号如何反映传播方向？
6. 行波质元经过平衡位置时，动能和势能各如何变化？
7. 两列波发生稳定干涉需要满足哪些条件？