CH.05ELECTROSTATICS

五、真空中的静电场

复习目标

• 掌握库仑定律、电场强度、电场叠加和电通量。
• 会用微元积分求连续带电体产生的电场和电势。
• 理解高斯定理的内容、适用条件和常见对称模型。
• 掌握电势、电势差、电势能及静电场力做功的符号关系。
• 能正确处理非无穷远电势零点、等势面和分区域电场。

知识地图

主线	核心公式	高频模型
点电荷电场	库仑定律、叠加原理	点电荷组
连续带电体	$d\overrightarrow{E}$、$dV$ 积分	杆、圆弧、圆环
高斯定理	$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}/{\epsilon }_0$	球、柱、无限平面
电势	$V_A-V_B={\int }_A^B\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$	电势零点、同心球面
静电功	$W_e=q(V_A-V_B)$	等势移动、外力搬运

核心知识点

1. 电荷与库仑定律

电荷具有量子性和守恒性。真空中两个静止点电荷之间的库仑力为

$${\overrightarrow{F}}_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\overrightarrow{e}}_{12},$$

其中 ${\epsilon }_0$ 是真空介电常数，$r$ 是两电荷间距离，${\overrightarrow{e}}_{12}$ 是由电荷 1 指向电荷 2 的单位矢量。电荷量必须带正负号，方向由异号相吸、同号相斥确定。

库仑定律适用于真空中的静止点电荷。对有一定尺寸的带电体，需要分割为电荷元并叠加。

2. 电场强度与叠加原理

试验电荷 $q_0$ 在某点受力 $\overrightarrow{F}$，该点电场强度定义为

$$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q_0}.$$

电场是场源电荷和空间位置的性质，与试验电荷大小无关。点电荷 $q$ 的场为

$$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r.$$

多个电荷产生的总场满足矢量叠加：

$$\overrightarrow{E}=\sum _i{\overrightarrow{E}}_i.$$

必须分别处理每个场的大小和方向；不能只把场强大小代数相加。

3. 电荷连续分布与微元法

连续带电体常用密度：

$$\lambda =\frac{dq}{dl},\sigma =\frac{dq}{dS},\rho =\frac{dq}{dV}.$$

分别称线电荷密度、面电荷密度和体电荷密度。微元在场点产生

$$d\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r.$$

标准步骤为：选电荷元 → 写 $dq$ → 写距离和方向 → 分解矢量 → 利用对称性消去分量 → 确定积分限。对称性通常只能帮你判断某些分量相消，不能替代积分本身。

4. 均匀带电圆环轴线场

半径为 $R$、总电荷为 $Q$ 的均匀圆环，在轴线上距圆心 $x$ 处产生的场沿轴线，大小为

$$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qx}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}.$$

垂直于轴线的分量由对称电荷元相消。当 $x=0$ 时 $E=0$；当 $x\gg R$ 时，结果近似为点电荷场 $Q/(4\pi {\epsilon }_0{x}^2)$，可作为极限检验。

5. 电通量

电场穿过面元 $d\overrightarrow{S}$ 的通量为

$$d{\mathrm{\Phi }}_E=\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=E\cos \theta dS.$$

穿过有限曲面的总通量为

$${\mathrm{\Phi }}_E={\int }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}.$$

闭合曲面的面元方向约定指向外部。电通量是标量，可以为正、负或零；通量为零并不意味着曲面上每一点的电场为零。

6. 真空中的高斯定理

任意闭合曲面满足

$${\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}}{{\epsilon }_0}.$$

$Q_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ 是闭合曲面内部净电荷的代数和；曲面外电荷虽然不改变净通量，但仍可能在曲面各点产生非零电场。

高斯定理永远成立，但只有当电荷分布具有足够对称性，使高斯面上 $E$ 的大小可提出积分号、方向关系简单时，才能用它方便地求场强。

7. 高斯面的选择

• 球对称：选同心球面，$E$ 沿径向且同一球面大小相等。
• 无限长圆柱对称：选同轴圆柱面，侧面上 $E$ 相等，端面通量为零。
• 无限大平面对称：选跨过平面的薄圆柱“药盒”，只有两个端面有通量。

高斯面是数学辅助面，不是实际物体表面；其形状应服务于对称性。

8. 常见高斯模型

无限长线电荷距轴 $r$ 处的场为

$$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}.$$

无限大均匀带电平面单侧场为

$$E=\frac{|\sigma |}{2{\epsilon }_0},$$

方向垂直平面，正电面向外、负电面向内，大小与距离无关。

半径为 $R$、总电荷为 $Q$ 的均匀带电球面：

$$E(r)=\{\begin{array}{ll}0,& r<R,\\ {\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{Q}{r^2}},& r>R.\end{array}$$

均匀带电实心球的体电荷密度为 $\rho =3Q/(4\pi R^3)$，其场为

$$E(r)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{Qr}{R^3}},& r<R,\\ {\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{Q}{r^2}},& r\ge R.\end{array}$$

球内场随 $r$ 线性增加，球外等效为点电荷。

9. 电势与电势差

静电场是保守场。两点电势差定义为

$$V_A-V_B={\int }_A^B\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}.$$

若选无穷远为电势零点，某点电势为

$$V(P)={\int }_P^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}.$$

点电荷的电势为

$$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}.$$

电势是标量，多个电荷的电势直接代数叠加：

$$V=\sum _i\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_i}{r_i}.$$

电势零点可以任意选择。改变零点会让所有电势加上同一常量，但任意两点的电势差不变。

10. 由电势求电场

电场方向指向电势降低最快的方向：

$$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }V.$$

一维情况下

$$E_x=-\frac{dV}{dx}.$$

因此 $E=0$ 只表示该区域电势不随位置变化，即电势为常量，并不表示该常量一定为零。带电球面内部正是典型例子。

11. 连续带电体的电势积分

电势是标量，电荷元 $dq$ 在场点产生

$$dV=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r}.$$

所以

$$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dq}{r}.$$

例如总电荷 $q$ 均匀分布在长 $2l$ 的细杆上，场点在延长线上且距近端 $a$，则 $\lambda =q/(2l)$，

$$V=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_a^{a+2l}\frac{dx}{x}=\frac{q}{8\pi {\epsilon }_{0}l}\ln \frac{a+2l}{a}.$$

求电势时无须分解方向，这通常比先求 $\overrightarrow{E}$ 再积分更简单。

12. 电势能与静电场力做功

试验电荷 $q$ 在电势 $V$ 处的电势能为

$$E_p=qV.$$

电场力把电荷从 $A$ 移到 $B$ 所做的功为

$$W_{e,AB}=q(V_A-V_B)=-\mathrm{\Delta }{E}_p.$$

若外力缓慢搬运电荷，使动能不变，则

$$W_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=q(V_B-V_A).$$

两式一“初减末”、一“末减初”，原因是电场力功与外力功在缓慢搬运时互为相反数。

13. 等势面

等势面上各点电势相等。沿等势面移动电荷时

$$W_e=q\mathrm{\Delta }V=0.$$

电场线与等势面正交，并由高电势指向低电势。等势面密集处，单位距离内电势变化较快，场强通常较大。

典型模型与方法

模型一：带电圆弧在圆心产生电场

取角度元 $d\theta$，写 $dq=\lambda Rd\theta$。每个电荷元到圆心距离均为 $R$，先由对称性判断哪些分量抵消，再对保留分量积分。不同半段带异号电荷时，必须重新判断各分量方向，不能机械相消。

模型二：两个无限平面叠加

先单独画出每个平面在左右两侧的场方向，再把空间分成“左外、两板间、右外”三个区域逐区代数相加。单个平面的场大小与距离无关。

模型三：分区域求球面电势

球面外用点电荷场积分；球面内 $E=0$，所以电势处处等于表面值。跨越 $R$ 的积分必须分段，电势在表面连续，而场强可以突变。

模型四：改变电势零点

先在常用的无穷远零点下写出 $V_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}(r)$，再减去新零点 $P$ 的旧电势：

$$V_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}}(r)=V_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}(r)-V_{\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{d}}(P).$$

这种方法比重新积分更快，也清楚体现电势差不变。

易错点

• 连续带电体求场时只积大小，不处理方向和分量。
• 看到闭合面就用 $ES=Q/{\epsilon }_0$，没有检查高斯面上 $E$ 是否处处等大。
• 把高斯面外电荷理解为“对曲面上电场没有贡献”；它只是对净通量贡献为零。
• 忘记无限大平面场与距离无关，或把单个平面场写成 $\sigma /{\epsilon }_0$。
• 电势积分上下限反写，导致符号错误。
• 认为 $E=0$ 必然 $V=0$。
• 电场强度做矢量叠加，电势却错误地也做矢量分解。
• 未分清题目问的是电场力做功还是外力做功。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
7-9	正负电半圆在圆心的场	电荷元、矢量积分	对称分量的方向随电荷正负改变
7-11	两无限平面电场	高斯定理、叠加	分三个空间区域讨论
7-13	非无穷远电势零点	点电荷电势	新电势等于旧电势减参考点旧电势
7-14	外力搬运电荷	电势叠加、电势能	三顶点电势先作标量叠加，外力功等于势能增量
7-15	等势面与电场力功	保守场	圆弧路径长度是干扰信息，功只看端点
7-17	有限带电细杆电势	线电荷积分	电势标量积分产生对数
L7-2、L7-5、L7-7	圆环、球面、圆柱面	积分与高斯定理	PDF 明确提示这些例题优先复习
L7-9、L7-11、L7-12	平板、球面电势、同心球面	叠加、分段积分	特别注意球壳内 $E=0$ 但 $V\ne 0$

快速自查

1. 高斯定理为什么永远成立，却不能对任何电场都直接求出 $E$？
2. 连续带电体求电场与求电势的积分步骤有何不同？
3. 高斯面外电荷对电通量和曲面上电场分别有什么影响？
4. 为什么带电球面内部场强为零而电势不为零？
5. 更换电势零点后，哪些物理量会变，哪些不会变？
6. 电场力做功和外力缓慢搬运做功为什么符号相反？
7. 能否独立推导无限线电荷、无限平面和带电球的场？