CH.09WAVE OPTICS

九、波动光学

复习目标

• 理解光的相干条件、光程和相位差。
• 掌握杨氏双缝干涉条纹位置、间距、级次和谱线重合。
• 掌握夫琅禾费单缝衍射的暗纹条件和中央明纹宽度。
• 掌握光栅主极大、最大级次、缺级和不同波长谱线重合。
• 了解薄膜干涉、半波损失和偏振的常用基础公式。
• 熟练进行 nm、mm、cm、m 之间的单位换算和小角度近似判断。

知识地图

模块	核心公式	高频题型
相干与光程	$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi \delta /\lambda$	判断加强、减弱
杨氏双缝	$d\sin \theta =k\lambda$	条纹位置、重合、最大级次
单缝衍射	$a\sin \theta =m\lambda$	中央明纹、暗纹位置
光栅	$d_g\sin \theta =k\lambda$	光栅常量、缺级、条纹数
薄膜干涉	光程差与半波损失	增透、增反、等厚干涉
偏振	马吕斯定律	光强、布儒斯特角

核心知识点

1. 相干光与相位差

两列光波产生稳定干涉条纹，必须频率相同、振动方向不互相垂直，并且相位差恒定。普通独立光源的初相位快速随机变化，不能形成稳定干涉，因此通常用同一光源分出的两束光获得相干光。

两束光到观察点的几何路程差为 $\mathrm{\Delta }r=r_2-r_1$。在真空或空气中，对应传播相位差为

$$\mathrm{\Delta }\phi =\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{\Delta }r+\mathrm{\Delta }{\phi }_0,$$

其中 $\mathrm{\Delta }{\phi }_0$ 是两波源初相差。若同相分波，$\mathrm{\Delta }{\phi }_0=0$。

2. 光程与光程差

光在折射率为 $n$ 的介质中传播几何距离 $r$，光程定义为

$$L=nr.$$

不同介质中的光程差为

$$\delta =L_2-L_1=\sum n_i{r}_i{|}_2-sum{n}_i{r}_i{|}_1.$$

用真空波长 ${\lambda }_0$ 表示时，传播相位差

$$\mathrm{\Delta }\phi =\frac{2\pi }{{\lambda }_0}\delta +\mathrm{\Delta }{\phi }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}.$$

$\mathrm{\Delta }{\phi }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}}$ 用于计入反射半波损失等额外相位变化。

3. 两束相干光的强度

两束光强分别为 $I_1,I_2$，相位差为 $\mathrm{\Delta }\phi$，合强度为

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \mathrm{\Delta }\phi .$$

当 $\mathrm{\Delta }\phi =2k\pi$ 时最强：

$$I_{max}=(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}{)}^2.$$

当 $\mathrm{\Delta }\phi =(2k+1)\pi$ 时最弱：

$$I_{min}=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}{)}^2.$$

只有 $I_1=I_2$ 时暗纹强度才严格为零。

4. 杨氏双缝干涉

双缝间距为 $d$，屏到双缝距离为 $D$，观察方向与中央轴夹角为 $\theta$。两缝到观察点的路程差为

$$\delta =d\sin \theta .$$

若两缝同相，明纹条件为

$$d\sin \theta =k\lambda ,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

暗纹条件为

$$d\sin \theta =(k+\frac{1}{2})\lambda .$$

$k=0$ 的明纹是中央明纹。

5. 双缝条纹位置与间距

在 $D\gg d$ 且观察角很小时，

$$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{x}{D}.$$

第 $k$ 级明纹位置为

$$x_k=\frac{k\lambda D}{d},$$

相邻明纹或暗纹间距为

$$\mathrm{\Delta }x=\frac{\lambda D}{d}.$$

条纹等间距。增大波长或屏距会使条纹变宽，增大双缝间距会使条纹变密。

6. 双缝最大级次

若屏理论上覆盖全部传播方向，精确明纹条件仍须满足 $|\sin \theta |\le 1$：

$$|k|\le \frac{d}{\lambda }.$$

最大整数级次通常取

$$k_{max}=\lfloor \frac{d}{\lambda }\rfloor .$$

若 $d/\lambda$ 恰为整数，最高级对应 $\theta ={90}^{\circ }$，光沿屏面方向传播，实际装置中往往不能在有限屏上观察；应结合题意说明是否计入。

7. 不同波长条纹重合

两种波长 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的明纹重合要求角位置相同：

$$k_1{\lambda }_1=k_2{\lambda }_2.$$

将波长比化为最简整数比，可以找到除中央明纹外的第一次重合。例如 $500\mathrm{nm}$ 与 $600\mathrm{nm}$ 满足 $6\times 500=5\times 600$，因此第 6 级与第 5 级首次重合。

白光双缝的中央明纹是白色；离开中心后不同波长条纹逐渐错开并可能再次重合。

8. 单缝夫琅禾费衍射

宽度为 $a$ 的单缝被波长 $\lambda$ 的平行单色光垂直照射时，衍射暗纹满足

$$a\sin \theta =m\lambda ,m=\pm 1,\pm 2,\dots$$

注意该式给出的是暗纹，不是明纹。中央明纹位于 $\theta =0$，两侧第一暗纹决定其范围：

$$\sin {\theta }_1=\frac{\lambda }{a}.$$

小角度下中央明纹半角宽度

$${\theta }_1\approx \frac{\lambda }{a},$$

中央明纹角宽度约为 $2\lambda /a$。

9. 单缝中央明纹的屏上宽度

若屏位于焦距为 $f$ 的透镜焦平面，小角度下暗纹位置

$$x_m\approx f\tan {\theta }_m\approx \frac{mf\lambda }{a}.$$

中央明纹宽度为两个一级暗纹之间距离：

$$\mathrm{\Delta }{x}_0=2x_1\approx \frac{2f\lambda }{a}.$$

其宽度是相邻次级明纹近似宽度的两倍。缝越窄，衍射越显著，中央明纹越宽。

10. 光栅主极大

透射光栅由大量等间距平行狭缝组成。设狭缝宽度为 $a$，相邻缝间不透光部分宽度为 $b$，光栅常量

$$d_g=a+b.$$

正入射时主极大条件为

$$d_g\sin \theta =k\lambda ,k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

缝数越多，主极大越细、越亮，主极大之间背景越暗。光栅每单位长度刻线数为

$$N_l=\frac{1}{d_g},$$

计算时必须统一长度单位。

11. 光栅最大级次和条纹总数

由 $|\sin \theta |\le 1$，

$$|k|\le \frac{d_g}{\lambda }.$$

先求理论最大级次 $k_{max}$，若没有缺级，包含中央零级的理论主极大条数为

$$N=2k_{max}+1.$$

随后还要剔除缺级；若最高级对应掠射方向，也应根据题意判断是否可见。

12. 光栅缺级

每个狭缝自身产生单缝衍射包络。若某光栅主极大方向同时是单缝暗纹方向，该级主极大消失：

$$d_g\sin \theta =k\lambda ,$$$$a\sin \theta =m\lambda .$$

两式相除得缺级条件

$$\frac{ka}{d_g}=m.$$

若 $d_g/a=p$ 为整数，则 $k=p,2p,3p,\dots$ 的级次缺失。零级不会因该条件缺失。

13. 光栅谱线重合

同一光栅中，两种波长的谱线在同一角度重合时

$$k_1{\lambda }_1=k_2{\lambda }_2.$$

若还给屏上距离 $x$ 和透镜焦距 $f$，精确关系为

$$\tan \theta =\frac{x}{f},$$

再由 $d_g\sin \theta =k\lambda$ 求光栅常量。只有角度足够小时才能直接用 $\sin \theta \approx x/f$。

14. 薄膜干涉基础（次重点）

折射率为 $n$、厚度为 $e$ 的薄膜中，两束反射光的几何光程差主要为

$${\delta }_g=2ne\cos {\theta }_t,$$

${\theta }_t$ 是膜内折射角。光从光疏介质射向光密介质并反射时会发生相位突变 $\pi$，等效附加半个波长；从光密到光疏反射则没有半波损失。

因此反射光干涉条件必须先数清两次反射中是否只有一次发生半波损失，不能机械记忆“明纹用整数”或“暗纹用半整数”。垂直入射时 $\cos {\theta }_t=1$。

15. 偏振基础（次重点）

偏振说明光是横波。自然光通过理想偏振片后，透射光强为原来的一半。线偏振光通过检偏器时满足马吕斯定律：

$$I=I_0{\cos }^2\alpha ,$$

$\alpha$ 是入射偏振方向与检偏器透振方向的夹角。

当自然光以布儒斯特角 $i_B$ 入射介质界面时，反射光完全线偏振，并满足

$$\tan i_B=\frac{n_2}{n_1},$$

同时反射光与折射光互相垂直。PDF 勾题未覆盖偏振，本节用于补齐大学物理 B 常见课程边界，复习优先级低于双缝、单缝和光栅。

典型模型与方法

模型一：杨氏双缝的“位置-级次-重合”

先用 $d\sin \theta =k\lambda$ 处理级次和极限，再在小角度条件满足时使用 $x=k\lambda D/d$。两种波长重合时消去共同角度，得到整数关系 $k_1{\lambda }_1=k_2{\lambda }_2$。

模型二：单缝中央明纹

暗纹条件给出边界。中央明纹宽度必须取左右第一暗纹之间的距离，因此是 $2f\lambda /a$，不能只写半宽 $f\lambda /a$。

模型三：光栅缺级与全部级次

1. 由 $d_g\sin \theta =k\lambda$ 求 $k_{max}$。
2. 由缺级信息和 $ka/d_g=m$ 求 $d_g/a$。
3. 列出 $-k_{max}$ 到 $+k_{max}$。
4. 删除正负缺级，保留零级，最后计数。

模型四：由屏上位置反求光栅常量

先由 $\tan \theta =x/f$ 求角度，再计算 $\sin \theta$。若题目数值未明确满足小角度，不应直接令 $\sin \theta =x/f$。

易错点

• 把路程差与光程差混为一谈，忘记乘折射率。
• 双缝明、暗纹条件对调，或漏掉中央零级。
• 在求最大级次时继续使用小角度屏上位置公式，而不是 $|\sin \theta |\le 1$。
• 两波长重合时错误地令级次相等；正确条件是 $k_1{\lambda }_1=k_2{\lambda }_2$。
• 把单缝暗纹条件当成明纹条件。
• 中央明纹宽度只取中心到一级暗纹的距离，漏掉另一半。
• 把光栅常量 $d_g$ 与狭缝宽度 $a$ 混淆。
• 统计全部谱线时漏掉负级、零级或忘记删除缺级。
• cm、mm、nm 未统一到同一单位，导致数量级错误。
• 薄膜反射中不判断半波损失，直接背明暗条件。

本章习题反推重点

题目	主要考查点	前置知识	解题关键
11-27	白光双缝、条纹间距、最大级次、重合	双缝条件、小角近似	最大级次用正弦限制，重合用整数比
11-43	单缝夫琅禾费衍射	暗纹条件、焦平面几何	中央明纹宽度是两个一级暗纹间距
11-44	光栅刻线数与第四级缺级	光栅方程、单缝包络	由缺级反求 $d_g/a$，列举全部允许级次
11-45	两波长光栅谱线重合	级次关系、焦平面位置	先求未知波长，再由角度求光栅常量
11-47	已知二、三级位置及第四级缺级	光栅常量、缺级	用两个级次互相校验，再列出实际全部级次

WARNING

PDF 的习题 11 只有题目，没有题解；上表的考点和解题关键均为根据题型推断。第十一章例题区也只有占位内容。按勾题密度，双缝、单缝和光栅是本章最高优先级。

快速自查

1. 稳定干涉需要满足哪些相干条件？
2. 光程差和几何路程差有什么区别？
3. 双缝明纹位置公式何时可以使用小角度近似？
4. 单缝中央明纹为什么比次级明纹宽约一倍？
5. 光栅主极大条件和单缝暗纹条件如何共同造成缺级？
6. 如何完整统计正级、负级、零级和缺级后的条纹数？
7. 薄膜反射题中，为什么必须先判断半波损失？